重新开始学数学 • 数理逻辑（3）

Model（Structure、结构、模型）

用途

Model 的主要作用是可以在给定一个 Model 的情况下，给一个谓词逻辑表达式求值。

前置定义

函数符号（function symbol）

A logical symbol that may be applied to an object term to produce another object term.

按我理解来说就是一个可以应用在某个 term¹ 上生成另一个 term 的一个逻辑符号。

函数符号是一个符号，他可以代表，但并不等同于某一个具体函数。

谓词符号（predicate symbol）

A notation for some concrete predicate or relation.

就是代表 predicate 的符号。

定义

设有函数符号集合 $F$ 和谓词符号集合 $P$，一个 Model $M$ 包含：

• 一个包含了所有具体值的集合，称为 $A$
• 对 $F$ 中每个函数符号，一个（每个参数的）定义域和值域均是 $A$ 的具体函数²
• 对 $P$ 中每个谓词符号，$A$ 上的一个具体谓词（或者说由这个谓词定义的关系）

例

这里有一个函数符号集合 $F_symbols = \{ i: () \rightarrow Value \}$，

一个谓词符号集合 $P = \{ R: (Value, Value) \rightarrow bool, F: (Value) \rightarrow bool\}$

可以利用以上两个集合，加上一个状态集合 $A$，来建立状态机的 model，比如：

对以上这一个状态机，对应的模型 M 就是：

$$ \displaylines { M.A = \{a, b, c\} \\ M.i = a \\ M.R = \{(a, a), (a, b), (b, c), (a, c), (c, c)\} \\ M.F = \{b, c\} \\ } $$

我们来给以下表达式求值：

$$ \forall x \exists y R(x, y) $$

这个表达式意思是从某个状态出去一定能到达其他状态，显然是对的。