代数结构 cheatsheet

运算

二元运算

给定集合$A$，二元函数$F: A \times A \rightarrow A$称为集合A上的二元运算。

本文中的二元运算使用 $\circ$ 、$\diamond$ ¹表示，同时，集合$A$中的元素用 $a$ ，$b$ ，$c$ 等表示。

可能使集合具有的特殊元素

幺元/单位元 （identity element/neutral element）

若对 $A$ 中每个元素 $a$

$$ i\ \circ\ a = a $$

则 $i$ 是 $\circ$ 在 $A$ 上的左幺元。

若对 $A$ 中每个元素 $a$

$$ a\ \circ\ i = a $$

则 $i$ 是 $\circ$ 在 $A$ 上的右幺元。

幺元 = 左幺元 & 右幺元。

逆元 （inverse element）

在已经存在幺元 $i$ 时，

若

$$ a\ \circ\ b = i $$

则 $a$ 是 $b$ 在 $\circ$ 上的左逆元，同时 $b$ 也是 $a$ 在 $\circ$ 下的右逆元。

逆元 = 左逆元 & 右逆元

零元（zero element）

若对 $A$ 中每个元素 $a$

$$ z\ \circ\ a = z $$

则 $z$ 是 $\circ$ 在 $A$ 上的左零元。

若对 $A$ 中每个元素 $a$

$$ a\ \circ\ z = z $$

则 $z$ 是 $\circ$ 在 $A$ 上的右零元。

零元 = 左零元 & 右零元

零因子（Zero divisor）

在已经存在零元 $z$ 时：

若对 $A$ 中存在不是零元的元素 $b$

$$ a\ \circ\ b = z $$

则 $a$ 是 $\circ$ 在 $A$ 上的左零因子。

若对 $A$ 中存在不是零元的元素 $b$

$$ b\ \circ\ a = z $$

则 $a$ 是 $\circ$ 在 $A$ 上的右零因子。

零因子 = 左零因子 & 右零因子（也有说法是 零因子 = 左零因子 | 右零因子）

可能具有的性质

交换律

若对 $A$ 中任意元素 $a$ 、$b$

$a\ \circ\ b = b\ \circ\ a$

结合律

若对 $A$ 中任意元素 $a$ 、$b$

$(a\ \circ\ b)\ \circ\ c =a\ \circ\ (b\ \circ\ c)$

分配率

若对 $A$ 中任意元素 $a$ 、$b$、$c$

若

$$ a\ \circ\ (b\ \diamond\ c) = a\ \circ\ b\ \diamond\ a\ \circ\ b $$

称 $\circ$ 对 $\diamond$ 具有左分配率。

若

$$ (b\ \diamond\ c) \circ\ a = b\ \circ\ a\ \diamond\ c\ \circ\ a $$

称 $\circ$ 对 $\diamond$ 具有右分配率。

分配率 = 左分配率 & 右分配率

幂等率

对 $A$ 中每个元素 $a$

$$ a\ \circ\ a = a $$

幂幺率

对 $A$ 中每个元素 $a$

$$ a\ \circ\ a = i $$

其中 $i$ 为幺元。

幂零率

对 $A$ 中每个元素 $a$

$$ a\ \circ\ a = z $$

其中 $z$ 为零元。

吸收率

对 $A$ 中每个 $a$ 、$b$

$$ a\ \circ\ (a\ \diamond\ b) = a\ \diamond\ (a\ \circ\ b) = a $$

则这两个运算服从吸收率，两种运算被称为对偶对。

序

偏序关系

待补充……

全序关系

待补充……

上/下界

待补充……

上/下确界（全上/下界）

待补充……

代数结构

来自维基百科（许多东西没有中文译名……）：

类群结构	完全性	结合律	单位元	除法	交换律
Partial magma	否	否	否	否	否
Semigroupoid	否	是	否	否	否
（Small） 范畴	是	是	是	否	否
广群	否	是	是	是	否
Commutative Groupoid	否	是	是	是	是
原群	是	否	否	否	否
Commutative magma	是	否	否	否	是
拟群	是	否	否	是	否
Commutative quasigroup	是	否	否	是	是
Unital magma	是	否	是	否	否
Commutative unital magma	是	否	是	否	是
幺拟群（圈）	是	否	是	是	否
Commutative loop	是	否	是	是	是
半群	是	是	否	否	否
Commutative semigroup	是	是	否	否	是
Associative quasigroup	是	是	否	是	否
Commutative-and-associative quasigroup	是	是	否	是	是
幺半群（独异点）	是	是	是	否	否
Commutative monoid	是	是	是	否	是
群	是	是	是	是	否
阿贝尔群	是	是	是	是	是

原群（magma/groupoid）

有一个集合和一个集合上的二元运算就是原群了。

拟群（quasigroup）

对任意元素 $a$ 和 $b$，有唯一的 $x$ 和 $y$，使得

$$ \displaylines { a\ \circ\ x = b \\ y\ \circ\ a = b } $$

我们可以从此定义出 $\circ$ 的逆运算：

$$ \displaylines { x = a\ \grave{\circ}\ b\\ y = b\ \acute{\circ}\ a } $$

$\grave{\circ}$ 常写作 \ ，常被称为左除。

$\acute{\circ}$ 常写作 /，被称为右除。

半群（semigroup）

原群 加

• 运算
  • 结合律

幺拟群（圈）（loop）

拟群 加上：

• 特殊元素
  • 幺元

幺半群（独异点）（monoid）

半群 加上：

• 特殊元素
  • 幺元

可交换幺半群（阿贝尔幺半群）

幺半群 加上：

• 运算
  • 交换律

群（group）

幺半群 加上：

• 特殊元素
  • （对每个元素）逆元

可交换群（阿贝尔群）（Abelian group）

群 + 可交换幺半群

环（ring）

对一种运算（$\circ$）构成可交换群 + 对另一种运算（$\diamond$）构成半群 + $\circ$ 对$\diamond$有分配率

幺环

环 + 其中那个半群是含幺半群

交换环

环 + 其中那个半群是交换半群

无零因子环

环 + 没有零因子

整环

交换环 + 幺环 + 无零因子环

除环

所有元素都在 $\circ$ 上有逆元

域（field）

交换环 + 除环

偏序集（partially ordered set）

定义了偏序的集合

半格²

序理论中的半格的定义

偏序集 + (最小上界 | 最大上界)

抽象代数中的半格的定义

集合 加上

• 运算
  • 交换律
  • 结合律

格（Lattice）

序理论中的格定义

偏序集 + 最小上界 + 最大上界

抽象代数中的格定义

两个定义在同一个集合上，但运算不同的半格，加上

• 两个运算
  • 吸收律

分配格

格 加上

• 运算
  • 分配率

完全格

偏序集 + 所有子集都有上确界和下确界

有界格

格 加上

• 有全下界和全上界

有补格

有界格 加上

• 对任意元素均有补元

补元

$$ a\ \wedge\ b=0 $$

且

$$ a\ \vee\ b = 1 $$

则 $b$ 是 $a$ 的补元。

海廷代数

有界格 加上

对于所有 $a$ 和 $b$，集合中存在最大的 $x$，使得$a \wedge x \leq b$。

其中 $x$ 称为 $a$ 对 $b$ 的相对伪补元。

完全海廷代数

海廷代数 + 完全格

布尔代数

有补格 + 分配格

或

海廷代数 将 相对伪补元改为真正的补元。

完全布尔代数

布尔代数 + 完全格

逻辑代数

布尔代数 + 二元（集合中元素只有两个）