运算

二元运算

给定集合$A$,二元函数$F: A \times A → A$称为集合A上的二元运算

本文中的二元运算使用 $\circ$ 、$\diamond$ 1表示,同时,集合$A$中的元素用 $a$ ,$b$ ,$c$ 等表示。

可能使集合具有的特殊元素

幺元/单位元 (identity element/neutral element)

若对 $A$ 中每个元素 $a$

则 $i$ 是 $\circ$ 在 $A​$ 上的左幺元。

若对 $A$ 中每个元素 $a$

则 $i$ 是 $\circ$ 在 $A​$ 上的右幺元。

幺元 = 左幺元 & 右幺元。

逆元 (inverse element)

在已经存在幺元 $i​$ 时,

则 $a$ 是 $b$ 在 $\circ$ 上的左逆元,同时 $b$ 也是 $a$ 在 $\circ$ 下的右逆元。

逆元 = 左逆元 & 右逆元

零元(zero element)

若对 $A​$ 中每个元素 $a​$

则 $z$ 是 $\circ$ 在 $A$ 上的左零元。

若对 $A​$ 中每个元素 $a​$

则 $z​$ 是 $\circ​$ 在 $A​$ 上的右零元。

零元 = 左零元 & 右零元

零因子(Zero divisor)

在已经存在零元 $z$ 时:

若对 $A​$ 中存在不是零元的元素 $b​$

则 $a$ 是 $\circ$ 在 $A$ 上的左零因子。

若对 $A$ 中存在不是零元的元素 $b$

则 $a$ 是 $\circ$ 在 $A$ 上的右零因子。

零因子 = 左零因子 & 右零因子(也有说法是 零因子 = 左零因子 | 右零因子)

可能具有的性质

交换律

若对 $A$ 中任意元素 $a$ 、$b​$

$a\ \circ\ b = b\ \circ\ a​$

结合律

若对 $A$ 中任意元素 $a$ 、$b$

$(a\ \circ\ b)\ \circ\ c =a\ \circ\ (b\ \circ\ c) $

分配率

若对 $A$ 中任意元素 $a$ 、$b$、$c$

称 $\circ$ 对 $\diamond$ 具有左分配率。

称 $\circ$ 对 $\diamond​$ 具有右分配率。

分配率 = 左分配率 & 右分配率

幂等率

对 $A$ 中每个元素 $a$

幂幺率

对 $A$ 中每个元素 $a​$

其中 $i$ 为幺元。

幂零率

对 $A$ 中每个元素 $a$

其中 $z$ 为零元。

吸收率

对 $A$ 中每个 $a$ 、$b​$

则这两个运算服从吸收率,两种运算被称为对偶对。

偏序关系

待补充……

全序关系

待补充……

上/下界

待补充……

上/下确界(全上/下界)

待补充……

代数结构

来自维基百科(许多东西没有中文译名……):

img1

Lattice_v4

原群(magma/groupoid)

有一个集合和一个集合上的二元运算就是原群了。

拟群(quasigroup)

对任意元素 $a$ 和 $b$,有唯一的 $x$ 和 $y$,使得

我们可以从此定义出 $\circ$ 的逆运算:

$\grave{\circ}$ 常写作 \ ,常被称为左除。

$\acute{\circ}$ 常写作 /,被称为右除。

半群(semigroup)

原群 加

  • 运算
    • 结合律

幺拟群(圈)(loop)

拟群 加上:

  • 特殊元素
    • 幺元

幺半群(独异点)(monoid)

半群 加上:

  • 特殊元素
    • 幺元

可交换幺半群(阿贝尔幺半群)

幺半群 加上:

  • 运算
    • 交换律

群(group)

幺半群 加上:

  • 特殊元素
    • (对每个元素)逆元

可交换群(阿贝尔群)(Abelian group)

群 + 可交换幺半群

环(ring)

对一种运算($\circ$)构成可交换群 + 对另一种运算($\diamond$)构成半群 + $\circ$ 对$\diamond$有分配率

幺环

环 + 其中那个半群是含幺半群

交换环

环 + 其中那个半群是交换半群

无零因子环

环 + 没有零因子

整环

交换环 + 幺环 + 无零因子环

除环

所有元素都在 $\circ$ 上有逆元

域(field)

交换环 + 除环

偏序集(partially ordered set)

定义了偏序的集合

半格

序理论定义

偏序集 + (最小上界 | 最大上界)

抽象代数定义

集合 加上

  • 运算
    • 交换律
    • 结合律

格(Lattice)2

序理论定义

偏序集 + 最小上界 + 最大上界

抽象代数定义

两个定义在同一个集合上,但运算不同的半格,加上

  • 两个运算
    • 吸收律

分配格

格 加上

  • 运算
    • 分配率

完全格

偏序集 + 所有子集都有上确界和下确界

有界格

格 加上

  • 有全下界和全上界

有补格

有界格 加上

  • 对任意元素均有补元

补元

则 $b$ 是 $a$ 的补元。

海廷代数

有界格 加上

对于所有 $a$ 和 $b$,集合中存在最大的 $x$,使得$a \wedge x \leq b$。

其中 $x$ 称为 $a$ 对 $b$ 的相对伪补元。

完全海廷代数

海廷代数 + 完全格

布尔代数

有补格 + 分配格

海廷代数 将 相对伪补元改为真正的补元。

完全布尔代数

布尔代数 + 完全格

逻辑代数

布尔代数 + 二元(集合中元素只有两个)

1. 各种材料常常用常见的乘号和加号代表运算,个人并不喜欢这样做,”不同”的东西应该用”不同”的记号
2. 格在群论和序理论中代表两个不同的东西,英文名称都叫Lattice,中文名称都叫格。数学家起名字的水平和我五五开。